Bonsoir,j'ai un dm a faire pour demain, niveau seconde le voici: On souhaite démontrer la formule d'Al-Kâshi qui dit que, dans un triangle ABC quelconque, AB^2=
Mathématiques
kiki272720
Question
Bonsoir,j'ai un dm a faire pour demain, niveau seconde le voici:
On souhaite démontrer la formule d'Al-Kâshi qui dit que, dans un triangle ABC quelconque, AB^2= AC²+ BC^2-2× AC×BC×cos (BCA).
1. Tracer un triangle ABC et construire la hauteur issue du point B. On appelle H le pied de cette hauteur.
2. En utilisant le triangle BHC, démontrer que:
a. HC = BC x cos (BCA);
b. HB BC x sin (BCA).
3. En déduire une expression de AH en fonction de BC, AC et cos (BCA).
4. En utilisant le triangle ABH, donner une expres- sion de AB2 puis retrouver la formule d'Al-Kâshi.
Si quelqu'un pourrais m'aider, sa serzit super gentil, merci beaucoup !
On souhaite démontrer la formule d'Al-Kâshi qui dit que, dans un triangle ABC quelconque, AB^2= AC²+ BC^2-2× AC×BC×cos (BCA).
1. Tracer un triangle ABC et construire la hauteur issue du point B. On appelle H le pied de cette hauteur.
2. En utilisant le triangle BHC, démontrer que:
a. HC = BC x cos (BCA);
b. HB BC x sin (BCA).
3. En déduire une expression de AH en fonction de BC, AC et cos (BCA).
4. En utilisant le triangle ABH, donner une expres- sion de AB2 puis retrouver la formule d'Al-Kâshi.
Si quelqu'un pourrais m'aider, sa serzit super gentil, merci beaucoup !
1 Réponse
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1. Réponse caylus
Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape :
1. voir image jointe
2.
[tex]cos\ \widehat{C}=\dfrac{HC}{BC} \Longrightarrow HC=BC*cos\ \widehat{C}\\\\sin\ \widehat{C}=\dfrac{HB}{BC} \Longrightarrow HB=BC*sin\ \widehat{C}\\\\3.\quad AH=AC-HC =AC-BC*cos\ \widehat{C} \\\Longrightarrow AH^2=AC^2+BC^2*cos^2\ \widehat{C}-2AC*BC*cos\ \widehat{C}\\\\DB^2=BC^2*sin^2\ \widehat{C}\\\\4. \quad AB^2=AH^2+BH^2\\\\AB^2=AC^2+BC^2*cos^2\ \widehat{C}+BC^2*sin^2\ \widehat{C}-2AC*BC*cos\ \widehat{C}\\[/tex]
[tex]\\AB^2=AC^2-2AC*BC*cos\ \widehat{C}+BC^2(sin^2\ \widehat{C}+cos^2 \widehat{C} )\ \\\\\boxed{AB^2=AC^2-2AC*BC*cos\ \widehat{C}+BC^2}\\[/tex]
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